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[基础知识] 边等分法(有理数等分)

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版主 保密 发表于 2018-6-9 07:37:33 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 Sualareen 于 2018-6-13 15:16 编辑

边等分(有理数等分)
1.首先明确如下前提:①正方形边长为单位1
             ②有理数为可以用整数表示之分数
             ③有理数等分值小于或等于1
2.等分原理:相似三角形的特性
以五等分(A)和七等分(B)为例,如图:
A

B

证明A:如图易知KLB与△KLC互为相似三角形
          ∵KB=1/4DC=1
          ∴BN:ND=1:4
       即:BN=1/5
同理可证B中,BN=3/7,ND=4/7.


通式证明:首先规定KBb/2nb2nbN+
      同样易知△KLB与△KLC互为相似三角形
            ∵KB=b/2n DC=1
            ∴BN:ND=b:2n
           即:BN=b/2n+1
所以可得一表
其中n代表线段AB被分为多少段,b代表从下往上数第几个等分点(即例子中K);
表格内的数字代表等分数。

但由于一来就三等分及其以上素数是比较困难的,折纸普通等分也是2n等分,所以实际得下表。
由此可见即使正方形一边仅对折,仅得到2n等分,正方形另一边变可以得到所有正整数等分。




运用此表,不只是上图中的一种折法,至少还有两种:如图1
A
B
原谅楼主用的几何软件画(尺规作图)的。
说明:折出一个四等分线FK
          保持D点啊不动,将C点折向线FK,与之重合;压出折痕HD(或只留下小段折痕标注H的位置)。
          对折,使D点与H点重合;压出折痕(或只标注点I的位置)
          IC为1/5
证明:证明△GDK与△HIC互为相似三角形,
          提示为CD=GD,HI=ID余下省略。

如图2
A
BP·B(B图右下角细节图)
说明:折出一个四等分点F
          对折,使B点与F点重合;压出折痕GH
          正方形一边BD(FI)与另一边交于J
          对折,使C与J重合于K;
          CK为1/5
证明:证明△AGF与△CFJ互为相似三角形,
          提示为AG+GF=AC余下省略。




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管理员 保密 发表于 2018-6-9 07:46:09 | 显示全部楼层
欢迎理论型人才入驻……
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版主 [楼主] 保密 发表于 2018-6-9 07:46:27 | 显示全部楼层
emmmmmmmmmm
纠错,n均为幂指数(虽然编辑的时候注意了,但是发出来之后都降下去了)
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版主 [楼主] 保密 发表于 2018-6-9 08:13:25 | 显示全部楼层
admin 发表于 2018-6-9 07:46
欢迎理论型人才入驻……

谢迎~
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硕士 保密 发表于 2018-6-11 05:35:03 | 显示全部楼层
理论依据有助于设计。
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硕士 保密 发表于 2018-10-12 20:50:40 | 显示全部楼层
感谢分享。
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